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Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ (ou plus exactement de sa loi) est la fonction $F_X$, de $\mathbb{R}$ dans $[0,1]$, qui à $x\in \mathbb{R}$ associe :

$$F_X = P[X\leq x]\;.$$

Les propriétés principales sont les suivantes.

Proposition 3.7  

$\bullet$

La fonction de répartition caractérise la loi. En particulier,

$$\forall a,b\in\mathbb{R}\,\,P[\,X\in]a,b]\,] =F_X(b)-F_X(a) \;.$$

$\bullet$

$F_X$ est une fonction croissante, continue à droite avec une limite à gauche en tout point.

$\bullet$

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }F_X(x) =0\,\, \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F_X(x)=1$ .

Lois discrètes. La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier. Si la variable aléatoire prend les valeurs $x_k\,,\;k=1,2,\ldots$, supposées rangées par ordre croissant, alors la fonction de répartition $F_X$ prend les valeurs :

$$F_X(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} 0&&\mbox{pour } x < x_1\... ...box{pour } x\in [x_k,x_{k+1}[\\ &\vdots& \end{array}\right.$$

Voici par exemple la loi et les valeurs différentes de la fonction de répartition pour le nombre de bons numéros pour $4$ numéros cochés sur une grille de Kéno.

$k$	0	1	2	3	4
$P[X=k]$	0.2512	0.4275	0.2538	0.0622	0.0053
$P[X\leq k]$	0.2512	0.6787	0.9325	0.9947	1

Si $X$ suit la loi géométrique ${\cal G}(p)$, sa fonction de répartition $F_X(x)$ vaut 0 pour $x<1$. Pour tout $k\geq 1$, elle est constante sur l'intervalle $[k,k+1[$ et vaut :

$$p+p(1\!-\!p)+\cdots+p(1\!-\!p)^{k-1} = 1-(1\!-\!p)^k\;.$$

A part les lois géométriques, les fonctions de répartitions des lois discrètes classiques n'ont pas d'expression analytique simple.

Lois continues. La fonction de répartition d'une variable aléatoire continue est la primitive de la densité qui s'annule en $-\infty$ :

$$F_X(x) = P[X\leq x] = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt\;.$$

C'est une fonction continue sur $\mathbb{R}$. En tout point $x$ où $f_X$ est continue, $F_X$ est dérivable et :

$$\frac{d }{dx}F_X(x) = f_X(x)\;.$$

Reprenons les trois exemples de base.

Loi ${\cal U}(a,b)$

$$F_X(x) =\int_{-\infty }^x\frac{1}{b-a}$$1$$_{[a,b]}(t)dt = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{si } x\leq a ... ... & \mbox{si } x\in [a,b] \\ 1 & \mbox{si } x\geq b \;. \end{array}\right.$$

Loi ${\cal E}(\lambda )$

$$F_X(x) =\int_{-\infty }^x\lambda e^{-\lambda t}$$1$$_{\mathbb{R}^+}(t)dt =\left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{si } x\leq 0 \\ 1-e^{-\lambda x} & \mbox{si } x\geq 0 \;. \end{array}\right.$$

Loi ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$

$$F_X(x) =\int_{-\infty }^x\frac{1}{\sigma\sqrt {2\pi }} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,dt \;.$$

Il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de répartition des lois normales. On en trouve des valeurs approchées dans les tables. La plupart des langages spécialisés ont un code d'intégration numérique qui calcule $F_X$, pour les lois normales comme pour toutes les lois usuelles.

La fonction de répartition est l'outil privilégié des calculs de lois. Un cas fréquent dans les applications est celui où on connaît la loi de $X$ et on veut déterminer la loi de $Y=\phi (X)$. Voici quelques exemples standard.

$\bullet$

Dans le cas où $\phi$ est dérivable, strictement croissante.

$$F_Y(y) =P[Y\leq y] =P[\phi (X)\leq y] =P[X\leq \phi^{-1}(y)] =F_X(\phi^{-1}(y)) \;,$$

La densité correspondante est :

$$f_Y(y) =\frac{d}{dy}F_Y(y) =\frac{1}{\phi '(\phi^{-1}(y))}f_X(\phi^{-1}(y)) \;.$$

$\bullet$

Si $X$ suit la loi ${\cal N}(0,1)$ et $Y=\sigma X+\mu$, avec $\mu\in \mathbb{R}$, $\sigma\in \mathbb{R}^+$.

$$F_Y(y) =P[\sigma X+\mu\leq y] =P\left[X\leq \frac{y-\mu}{\sigma}\right] =F_X\left(\frac{y-\mu}{\sigma }\right)\;.$$

La densité correspondante est :

$$f_Y(y) =\frac{1}{\sigma }f_X\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}} \;,$$

et donc Y suit la loi ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$. Ceci permet de ramener les calculs de probabilité sur une loi normale quelconque aux calculs sur la loi ${\cal N}(0,1)$.

$\bullet$

Si $X$ suit la loi ${\cal N}(0,1)$ et $Y=X^2$.

$$F_Y(y) =P[X^2<Y] =0 \,\,$$   si $$y<0\;.$$

Si $y$ est positif :

$$F_Y(y) =P[-\sqrt y\leq X\leq +\sqrt y] =F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)\,\,$$   si $$y\geq 0 \;.$$

La densité correspondante est :

$$\begin{array}{rl} f_Y(y)= & \frac{1}{2\sqrt y}f_X(-\sqrt y +... ... \mbox{ \,si } y>0 \mbox{ et } 0 \mbox{ sinon.}\\ \end{array}$$

La loi de densité

$$\frac{1}{\sqrt y}\frac{1}{\sqrt {2\pi }} e^{-\frac{1}{2}y}$$1$$_{\mathbb{R}^{+*}}(y)$$

est la loi de chi-deux à 1 degré de liberté ${\cal X}^2(1)$. C'est aussi la loi gamma $G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

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